Uit de meetkunde of geometrie kennen wij het begrip "evenwijdig", ook wel "parallel" genoemd.Evenwijdige lijnen snijden elkaar in het oneindige Met "evenwijdig" wordt aangegeven dat twee objecten of lijnen overal dezelfde afstand of wijdte tot elkaar hebben. De Nederlandse taal is een van de weinige talen die er met "evenwijdig" een eigen begrip of term voor heeft. Deze term werd bedacht door ene Simon Stevin (1548-1620), een Vlaams toegepast wiskundige, natuurkundige en ingenieur. Hij vond onder meer het decimale stelsel voor breuken uit.

Ik herinner mij dat ik vroeger op school leerde dat twee evenwijdige lijnen elkaar snijden in het oneindige. Goed, maar als twee evenwijdige lijnen elkaar snijden, het mag nog in het oneindige zijn, dan zijn de twee evenwijdige lijnen niet evenwijdig. En nu? Niet goed opgelet tijdens de les meetkunde?

De leerstof van vroeger is gebaseerd op het verschijnsel dat de hoek tussen twee elkaar snijdende lijnen steeds kleiner wordt naarmate ze de evenwijdige toestand naderen. Het snijpunt komt steeds verder weg te liggen en in de limiet, bij evenwijdigheid, zou Verdwijnpunthet snijpunt dan in het oneindige liggen. In een lijnperspectief lijken evenwijdige lijnen elkaar ook te snijden in het verdwijnpunt.

Allemaal goed en wel, maar mijn probleem is hiermee nog steeds niet opgelost: snijden twee evenwijdige lijnen elkaar nu in het oneindige of niet?

Blijkt dat evenwijdigheid enkel een zinvol begrip is in de euclidische meetkunde. In niet-euclidische ruimten gelden ingewikkeldere regels met betrekking tot de snijpunten van twee lijnen. Ik ga nu niet omschrijven wat euclidische meetkunde is, dat heeft iemand op Wikipedia al gedaan:

Wikipedia: Euclidische meetkunde is de meetkunde gebaseerd op de axioma's die bekend zijn uit de Elementen van Euclides. Tot deze euclidische meetkunde behoren de vlakke en de ruimtemeetkunde, die in het elementaire wiskunde-onderwijs geleerd worden. De verschillende leerboeken van de planimetrie en de leerboeken van de stereometrie, die op de scholen gebruikt worden, behandelen deze vorm van meetkunde. Zij ligt ten grondslag aan de elementaire mechanica en natuurkunde en werd vroeger voor de enig mogelijke meetkunde gehouden.

De naam euclidische meetkunde is pas in de 19e eeuw ontstaan ter onderscheiding van andere, niet-euclidische meetkunde, die met de euclidische meetkunde alle axioma's op één na gemeen hebben; dit ene axioma is het axioma van de evenwijdige lijnen, volgens hetwelk door een punt P buiten een lijn L slechts één lijn gaat evenwijdig met L, dan komt met tot de zogenoemde elliptische meetkunde van Riemann. De gewone euclidische meetkunde is te beschouwen als overgangsgeval tussen de elliptische en de hyperbolische meetkunde en heet om die reden ook wel parabolische meetkunde.

Ik moet bij deze bekennen dat ik er nog steeds niet uit ben. Hoe je het ook draait of keert: als twee evenwijdige lijnen elkaar snijden in het oneindige, zijn ze niet evenwijdig. Punt.

"Evenwijdig" bestaat dus niet en is bij gevolg niets meer dan een axioma: een niet bewezen, maar als grondslag aanvaarde stelling. Maar een axioma op zich dient als grondslag voor het bewijs van andere stellingen. Zijn die gevolgtrekkende stellingen dan aanvaardbaar?

I rest my case.

Lampie: Nu ligt mijn hele wereldbeeld in duigen. Dacht ook altijd dat evenwijdige lijnen evenwijdig waren.
Op 17-03-2008 8:08:42 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Ghislain: Als twee lijnen elkaar snijden, om het even waar, zelfs in het 'oneindige', dan zijn ze niét evenwijdig. Als je wil, kun je àlles in vraag stellen.
Op 17-03-2008 8:14:30 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Ja Horus: Er bestaat vast wel een parallel universum waar parallelle lijnen wél parallelle lijnen blijven. Om maar even een evenwijdig kromme redenering te gebruiken.
I'm not a complete idiot. Some parts are missing.
Op 17-03-2008 9:33:18 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Picobyte: Nou ja op een rechte weg kan je ook rond de aarde rijden... maar evenwijdig snijdt elkaar niet ook niet in het oneindige.
Oneindig het woord zegt het reeds.... dat is er niet.
Stroom moet vloeien.
Op 17-03-2008 17:04:32 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Ghislain:
ton:

Neem een passer en trek een willekeurige cirkel. Maak vanuit hetzelfde middelpunt een gotere (of kleinere) cirkel. De lijnen snijden elkaar nooit.


Ja ! Dit is een zeer goed voorbeeld van evenwijdige lijnen, die elkaar dus inderdaad nooit zullen snijden.

G.
Op 18-03-2008 8:05:08 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Ghislain:
hoaxiepoax:

Ik denk dat het bij de stellingname "ik leerde vroeger op school dat twee evenwijdige lijnen elkaar snijden in het oneindige" al mis gaat. Want je moet niet perspectief gaan verwarren met theoretische wiskunde: perspectief is een visueel effect.
Ook deze zin "De leerstof van vroeger is gebaseerd op het verschijnsel dat de hoek tussen twee elkaar snijdende lijnen steeds kleiner wordt naarmate ze de evenwijdige toestand naderen" is gebaseerd op perspectief en NIET wiskunde.
Maw, pas op dat je niet de werkelijkheid, in dit geval perspectief dus, verward met wiskundige begrippen.


Idd, evenwijdige lijnen in perspectief afbeelden is nog wel iets anders dan lijnen die elkaar effectief snijden. Door het perspectief LIJKEN de lijnen elkaar te snijden 'in de verte', maar dit is louter optisch bedrog.

G.
Op 18-03-2008 8:07:37 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Radiation:
Ghislain:

ton:

Neem een passer en trek een willekeurige cirkel. Maak vanuit hetzelfde middelpunt een gotere (of kleinere) cirkel. De lijnen snijden elkaar nooit.


Ja ! Dit is een zeer goed voorbeeld van evenwijdige lijnen, die elkaar dus inderdaad nooit zullen snijden.

G.


Op voorwaarde dat dit gegeven van toepassing blijft tot in het oneindige... :-)
Ge kunt er uw haar mee kammen!
Op 18-03-2008 8:09:06 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
celtic:
Radiation:

Ghislain:

ton:

Neem een passer en trek een willekeurige cirkel. Maak vanuit hetzelfde middelpunt een gotere (of kleinere) cirkel. De lijnen snijden elkaar nooit.


Ja ! Dit is een zeer goed voorbeeld van evenwijdige lijnen, die elkaar dus inderdaad nooit zullen snijden.

G.


Op voorwaarde dat dit gegeven van toepassing blijft tot in het oneindige... :-)

Het puntje in het midden van de passer kan de visuele oneindigheid zijn van de gemaakte cirkel van de passer.

(bericht gewijzigd op 18-3-2008 8:51:03)
Condemnation without investigation is the highest form of ignorance
Op 18-03-2008 8:50:32 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Radiation:
celtic:

Radiation:

Ghislain:

ton:

Neem een passer en trek een willekeurige cirkel. Maak vanuit hetzelfde middelpunt een gotere (of kleinere) cirkel. De lijnen snijden elkaar nooit.


Ja ! Dit is een zeer goed voorbeeld van evenwijdige lijnen, die elkaar dus inderdaad nooit zullen snijden.

G.


Op voorwaarde dat dit gegeven van toepassing blijft tot in het oneindige... :-)

Het puntje in het midden van de passer kan de visuele oneindigheid zijn van de gemaakte cirkel van de passer.



Als je 't zo bekijkt bestaat oneindigheid dubbel: naar binnen toe en naar buiten toe. Wil de échte oneindigheid opstaan?
Ge kunt er uw haar mee kammen!
Op 18-03-2008 8:57:56 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
celtic:
Radiation:

celtic:

Radiation:

Ghislain:

ton:

Neem een passer en trek een willekeurige cirkel. Maak vanuit hetzelfde middelpunt een gotere (of kleinere) cirkel. De lijnen snijden elkaar nooit.


Ja ! Dit is een zeer goed voorbeeld van evenwijdige lijnen, die elkaar dus inderdaad nooit zullen snijden.

G.


Op voorwaarde dat dit gegeven van toepassing blijft tot in het oneindige... :-)

Het puntje in het midden van de passer kan de visuele oneindigheid zijn van de gemaakte cirkel van de passer.



Als je 't zo bekijkt bestaat oneindigheid dubbel: naar binnen toe en naar buiten toe. Wil de échte oneindigheid opstaan?

Een cirkel bestaat trouwens uit één lijn die constant doorgaat. Geen begin of einde. Het gaat over evenwijdige lijnen.
Condemnation without investigation is the highest form of ignorance
Op 18-03-2008 9:18:33 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Voetnoot:
Ronald:

hoaxiepoax:

Dat voorbeeld van die circels is niet correct. Een circel is geen rechte lijn. Even voor de goeie orde...


Trek een cirkel open en je hebt een rechte lijn, of zie ik dat verkeerd ?

Ronald.


Ja
(bericht gewijzigd op 18-3-2008 10:59:00)
Op 18-03-2008 10:59:00 | Kudos: 1 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
RF:
Robbielab:

Iedereen heeft het in deze stelling over de definitie van parallel. "Twee parallelle lijnen snijden elkaar in het oneindige".
De kern van deze definitie is niet of twee parallelle lijnen elkaar nu wel of niet snijden op een heel ver weg gelegen punt. De kern is het woord oneindig: on-eindig, geen einde. De definitie bevestigd dus wat iedereen wel weet: Dat twee parallelle lijnen elkaar niet snijden.

maar waarom dan zo moeilijk doen?
ipv te stellen dat "2 evenwijdige lijnen elkaar in het oneindige snijden" kan je dan toch ook gewoon heel erg simpel zeggen "2 evenwijdige lijnen zullen elkaar nooit snijden"

is voor mij hetzelfde en een stuk begrijpelijker ook nog eens

wat je ook nog zou kunnen stellen:
"2 evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit, zelfs niet in het oneindige"

is er een wiskundeleraar in de zaal???
(bericht gewijzigd op 20-3-2008 20:01:06)
blaat het niet dan schaapt het niet
Op 20-03-2008 20:01:06 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Dr. Phil: Eenmaal afgesproken dat lijnen evenwijdig zijn kruisen ze elkaar niet. Dat is een theoretisch uitgangspunt.
(bericht gewijzigd op 20-3-2008 23:47:26)
Op 20-03-2008 23:47:26 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
RF: dus, voor alle duidelijkheid:
je zou in deze "in het oneindige" kunnen vervangen door "nooit", want dat betekend het in deze situatie?

denk ik
(bericht gewijzigd op 21-3-2008 12:24:31)
blaat het niet dan schaapt het niet
Op 21-03-2008 0:24:31 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Dr. Phil:
Bert:
een getal delen door nul. Hoeveel is dat? Oneindig, of min oneindig. Wiskunde is een mooi iets.

Een getal delen door nul is niet oneindig.

Je kan niet delen door 0 want als je deelt door iets deel je dus niet door niets.

(bericht gewijzigd op 24-3-2008 21:55:21)
Op 24-03-2008 21:55:21 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Edmund:
Bert:

Getallen kan je gewoon delen door nul. Probeer het met limieten. (Bekend van de middelbare school neem ik aan.) Lim(x)(1/x). Als je de limiet van onderaf naar nul laat naderen, wordt het resultaat van de deling min oneindig. Nadert de limiet van bovenaf naar nul, dan wordt het resultaat plus oneindig. Makkelijker kan ik het niet maken.

Overigens, nul delen door nul is wel ongedefinieerd. 0/x is overal 0, *behalve* als x ook 0 is.

Dan ben je niet bezig met nul maar met een benadering van 0.
(bericht gewijzigd op 1-4-2008 0:43:28)
Op 01-04-2008 0:41:37 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Edmund:
Merlijn:

...twee parallelle lijnen snijden elkaar in het oneindige...
goed, dan kunnen we er ook van uitgaan dat ze elkaar snijden in het min oneindige.
Hoeveel meer is min oneindig tot plus oneindig, dan vanaf hier tot oneindig? Is dat oneindig veel meer?
Is het werkelijk zo, dat twee lijnen die elkaar snijden in het min oneindige op deze plek parallel lopen aan elkaar, en elkaar weer snijden in het oneindige?

Stel, we gaan naar de plaats waar ze elkaar snijden, hoe ver weg dat ook moge zijn.
Op die plaats zou dan moeten gelden dat twee snijdende lijnen parallel lopen in het oneindige.
Het komt er dan op neer dat in dat oneindige andere regels gelden dan we op deze plek hanteren.
Ik heb namelijk nooit van de stelling gehoord dat twee snijdende lijnen mogelijk parallel lopen in het oneindige.
Bovendien zul je het oneindige nooit bereiken, dus met andere woorden: de parallelle lijnen snijden elkaar dus nooit.

oneindig is geen vast punt maar een soort spanne in het onmeetbare. als lijnen in dat gebied kruisen maar eerder alleen evenwijdig liepen dan kan het dus per definitie niet zo zijn dat het kruispunt gekend is.
(bericht gewijzigd op 4-4-2008 1:09:14)
Op 04-04-2008 1:09:14 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Edmund:
Merlijn:

Je was me even voor met je reactie.
Als het kruispunt niet gekend is, en er geen meetbaarheid is, dan is de stelling zonder enige praktische waarde en kan niet aangetoond worden.
Als je spreekt over een (denkbeeldig) punt waar de kruising plaatsvindt, spreek je over een manifestatie die een plaats moet kennen om zich nu eenmaal te kunnen manifesteren.
Dit is een vast gegeven in de stelling.
Is het dan onmogelijk om dat vaste gegeven als uitgangspunt te hanteren in plaats van resultante?
In mijn optiek zou je dan consequent moeten zijn en de manifestatie ook vanuit ander perspectief moeten kunnen hanteren.

oneindig is inderdaad een fantasiegegeven. Het is een abstract gebied waar je met concrete invullingen alleen maar tot vraagtekens, tegenstrijdigheden en onmogelijkheden komt. Welkom in de wiskundewereld waar niets is zoals het lijkt.
(bericht gewijzigd op 4-4-2008 1:21:17)
Op 04-04-2008 1:21:17 | Kudos: 0 Bericht positief waarderen
 Directe link naar reactie Meld ongepaste reactie
Sitemap - © 2016Grenswetenschap.nl - Reageervoorwaarden